Що таке натуральне число?


Натуральними називають числа, використовувані при рахунку (нумерації, перерахування) предметів. Тобто, це цілі позитивні числа. Негативні і нецілі числа – до натуральних не відносяться.

Натуральний ряд чисел конструюється на основі початкового натурального числа, званого одиницею (позначення "1") і операції переходу до наступного. Ця операція застосовна до будь натуральному числу, а її результат вважається натуральним числом, наступним за вихідним.

Для будь-якого натурального числа існує тільки одне наступне. Одиниця є найменшим натуральним числом, оскільки немає такого натурального числа, для якого вона була б наступним. Найбільшого натурального числа не існує, оскільки для будь-якого натурального числа можна побудувати наступне. Формально структура множини натуральних чисел задається п'ятьма аксіомами Пеано.

Між математиками є розбіжність з питання про те, яке число вважати найменшим в натуральному ряду. У французькій традиції, висхідній до робіт Н.Бурбакі, на відміну від інших математичних шкіл натуральними прийнято вважати числа, що виражають кількість предметів в групі. Тому в цій традиції найменшим натуральним числом вважається нуль ("0"), а не одиниця, і, відповідно, французькі математики, на відміну від інших, визнають нуль натуральним числом. Такий підхід мотивований також теоретико-множинної моделлю натурального ряду, в якій нуль ототожнюється з порожнім безліччю (Ø), а операція переходу до наступного – з утворенням безлічі, що складається з усіх попередніх натуральних чисел (представлених множинами):

0 ≡ Ø

1 ≡ {Ø}

2 ≡ {Ø, {Ø}}

3 ≡ {Ø, {Ø}, {Ø, {Ø}}}

4 ≡ {Ø, {Ø}, {Ø, {Ø}}, {Ø, {Ø}, {Ø, {Ø}}}}

і т.д.

Слід зазначити, що при такій побудові кожне натуральне число збігається з потужністю відповідного йому безлічі.

Порядок. На безлічі натуральних чисел визначено відношення порядку «менше», позначуване символом «<». Натуральные числа M и N связаны отношением «меньше» (M

Додавання. На основі операції переходу до наступного визначається операція додавання, що позначається символом «+». Сумою M + N двох натуральних чисел M і N називається число K, одержуване з числа M в результаті N-кратного застосування операції переходу до наступного. Сума двох натуральних чисел завжди є натуральним числом.

Віднімання. На основі операції додавання визначається операція віднімання, що позначається символом «-». Різницею MN називається таке число K, яке при додатку до N дає M. Різниця існує не для будь-яких натуральних чисел M і N, а тільки для таких, які пов'язані відношенням «менше»: N

Множення. На основі операції додавання на безлічі натуральних чисел вводиться операція множення, що позначається символом «·». Твором M · N двох натуральних чисел M і N називається число K, одержуване з числа M в результаті (N-1)-кратного додавання до нього числа M. Твір будь-яких двох натуральних чисел є натуральним числом.

Ділення. На основі операції множення визначається операція ділення, що позначається символом «/». Приватним M / N двох натуральних чисел M і N називається таке число K, яке при множенні на N дає M. Далеко не для будь-якої пари натуральних чисел існує натуральне приватне. У тих випадках, коли воно існує, кажуть, що два натуральних числа діляться один на одного.

Джерела:

  • Натуральне число – вільна енциклопедія Wikia Наука
  • В.Н. Салій, Математичні основи гуманітарних знань: Навчальний посібник для студентів гуманітарних напрямів та спеціальностей (Саратовський державний університет)

Додатково в базі даних Генона:

  • Як аксіоматізіруется ряд натуральних чисел?
  • Чи є дріб натуральним числом?
  • Які числа не є натуральними?
  • Що таке таблиця множення?

Category: Наука та освіта

Comments (Прокоментуй!)

There are no comments yet. Why not be the first to speak your mind.

Leave a Reply