Що таке магічний (чарівний) квадрат?

"У дні моєї юності я у вільний час розважався тим, що становив магічні квадрати" – писав Бенджамін Франклін.

Магічний квадрат, квадратна таблиця з цілих чисел, в якій суми чисел вздовж будь рядки, будь-якого стовпця і будь-який з двох головних діагоналей дорівнюють одному й тому числу. Це з Енциклопедії "Кругосвет"

Велика Радянська Енциклопедія дає більш складне визначення, але суть однакова. " Магічний квадрат – квадрат, розділений на рівне число n стовпців і рядків, зі вписаними в отримані клітини першими n2 натуральними числами, які дають в сумі по кожному стовпцю, кожному рядку і двом великим діагоналях одне і те ж число [рівне, як легко довести, 1/2 n (n2 +1)]. Доведено, що М. к. можна побудувати для будь-якого n, починаючи з n = 3 "

Енциклопедія Вікіпедія дає схоже визначення, теж із застосуванням формули. "Магічний, або чарівний квадрат – це квадратна таблиця nxn, заповнена n2 числами, таким чином, що сума чисел в кожному рядку, кожному стовпці і на обох діагоналях виявляється однаковою. Нормальним називається магічний квадрат, заповнений цілими числами від 1 до n2.
Магічні квадрати існують для всіх порядків n> 1, за винятком n = 2, випадок n = 1 тривіальний – квадрат складається з одного числа. Мінімальний нетривіальний випадок має порядок n = 3. Сума чисел у кожному рядку, стовпці і на діагоналях, називається магічною константою. Магічна константа нормального чарівного квадрата залежить тільки від n і визначається формулою M (n) = 1/2 n (n2 +1) "

Магічний квадрат – давньокитайського походження. Згідно з легендою, за часів правління імператора Ю (бл. 2200 до н.е.) з вод Хуанхе (Жовтої ріки) спливла священна черепаха, на панцирі якої були накреслені таємничі ієрогліфи (рис. 1, а), і ці знаки відомі під назвою ло-шу і рівносильні магічному квадрату, зображеному на рис. 1, б. У 11 в. про магічні квадратах дізналися в Індії, а потім в Японії, де в 16 ст. магічним квадратам була присвячена велика література. Європейців з магічними квадратами познайомив у 15 ст. візантійський письменник Е.Мосхопулос. Першим квадратом, придуманим європейцем, вважається квадрат А.Дюрера (рис. 2), зображений на його знаменитій гравюрі Меланхолія 1. Дата створення гравюри (1514) вказана числами, що стоять в двох центральних клітинах нижнього рядка.

Магічним квадратам приписували різні містичні властивості. У 16 в. Корнелій Генріх Агріппа побудував квадрати 3-го, 4-го, 5-го, 6-го, 7-го, 8-го і 9-го порядків, які були пов'язані з астрологією 7-ми планет. Існувало повір'я, що вигравіруваний на сріблі магічний квадрат захищає від чуми. Навіть сьогодні серед атрибутів європейських віщунів можна побачити магічні квадрати.

У 19 – 20 ст. інтерес до магічних квадратах спалахнув з новою силою. Їх стали досліджувати за допомогою методів вищої алгебри та операційного числення.

Кожен елемент магічного квадрата називається клітиною. Квадрат, сторона якого складається з n клітин, містить n2 клітин і називається квадратом n – го порядку. У більшості магічних квадратів використовуються перші n послідовних натуральних чисел. Сума S чисел, що стоять в кожному рядку, кожному стовпці і на будь діагоналі, називається постійної квадрата і дорівнює S = n (n2 + 1) / 2.

Для квадрата 3-го порядку S = 15, 4-го порядку – S = 34, 5-го порядку – S = 65, 6-го порядку – S = 111, 7-го порядку – S = 175, 8-го порядку – S = 260, 9-го порядку – S = 369 і т.д.

Дві діагоналі, що проходять через центр квадрата, називаються головними діагоналями. Ламаної називається діагональ, яка, дійшовши до краю квадрата, триває паралельно першому відрізку від протилежного краю (таку діагональ утворюють заштриховані клітини на рис. 3). Клітини, симетричні щодо центру квадрата, називаються кососімметрічнимі. Такі, наприклад, клітини a і b на рис. 3.

Правила побудови магічних квадратів діляться на три категорії в залежності від того, який порядок квадрата: непарне, дорівнює подвоєному непарному числу або дорівнює учетверенной непарному числу. Загальний метод побудови всіх квадратів невідомий (або не визначений), хоча широко застосовуються різні схеми, деякі з яких будуть розглянуті нижче.

Магічні квадрати непарного порядку можна побудувати за допомогою методу французького геометра 17 в. А.де ла Лубер. Розглянемо цей метод на прикладі квадрата 5-го порядку (рис. 4). Число 1 поміщається в центральну клітку верхнього рядка. Всі натуральні числа розташовуються в природному порядку циклічно знизу вгору в клітинах діагоналей справа наліво. Дійшовши до верхнього краю квадрата (як у випадку числа 1), продовжуємо заповнювати діагональ, що починається від нижньої клітини наступного стовпця. Дійшовши до правого краю квадрата (число 3), продовжуємо заповнювати діагональ, що йде від лівої клітки рядком вище. Дійшовши до заповненої клітини (число 5) або кута (число 15), траєкторія спускається на одну клітку вниз, після чого процес заповнення продовжується.

Метод Ф.де ла Іра (1640-1718) заснований на двох первинних квадратах. На рис. 5 показано, як за допомогою цього методу будується квадрат 5-го порядку. В клітини першого квадрата вписуються числа від 1 до 5 так, що число 3 повторюється в клітинах головної діагоналі, що йде вправо вгору, і жодне число не зустрічається двічі в одному рядку або в одному стовпці. Те ж саме ми проробляємо з числами 0, 5, 10, 15, 20 з тією лише різницею, що число 10 тепер повторюється в клітинах головної діагоналі, що йде зверху вниз (рис. 5, б). Поклеточная сума цих двох квадратів (рис. 5, в) утворює магічний квадрат. Цей метод використовується і при побудові квадратів парного порядку.

Якщо відомий спосіб побудови квадратів порядку m і порядку n, то можна побудувати квадрат порядку mЄn. Суть цього способу показана на рис. 6. Тут m = 3 і n = 3. Більший квадрат 3-го порядку (з числами, поміченими штрихами) будується методом де ла Лубер. У клітку з числом 1? (Центральну клітину верхнього ряду) вписується квадрат 3-го порядку з чисел від 1 до 9, також побудований методом де ла Лубер. У клітку з числом 2? (Праву в нижньому рядку) вписується квадрат 3-го порядку з числами від 10 до 18; в клітку з числом 3? – Квадрат з чисел від 19 до 27 і т.д. У результаті ми отримаємо квадрат 9-го порядку. Такі квадрати називаються складовими.

Відомо, що шахи, як і магічні квадрати, з'явилися десятки століть тому в Індії. Тому невипадково виникла ідея шахового підходу до побудови магічних квадратів. Вперше цю думку висловив Ейлер. Він спробував отримати повний магічний квадрат безперервним обходом коня. Однак, це зробити йому не вдалося, оскільки в головних діагоналях суми чисел відрізнялися від магічної константи. Тим не менш шахова розбивка дозволяє створювати будь магічний квадрат. Цифри заповнюються регулярно і порядково з урахуванням кольору осередків. Познайомитися з шаховим підходом побудови Магічного кавадрата можна тут – chess7.narod.ru.

Результатом різнобічних досліджень магічного квадрата стало створення Книги змін, в якій викладені основні принципи китайської філософії, астрології, нумерології. Минуло кілька сотень років, і в результаті розвитку цих наук склалася ідеологія, яка призвела до виникнення власне вчення фен-шуй, який став частиною єдиної філософської системи, способу життя мільйонів людей в Китаї.

Повного опису всіх можливих магічних квадратів не отримано і до цього часу.

З використанням властивостей магічного квадрата створюються різні головоломки, наприклад судоку (що таке

судоку можна дізнатися по посиланнях вказаними нижче). Або ще віртуальні ігри, наприклад тут lab-1m.ru, або тут: magic.8212.ru.

Джерела:

  • krugosvet.ru – енциклопедія "Кругосвет" про магічному квадраті;
  • slovari.yandex.ru – про магічному квадраті;
  • Вікіпедія – визначення магічного квадрата;
  • Вікіпедія – про магічному (чарівному) квадраті;
  • chess7.narod.ru – шаховий підхід до побудови магічного квадрата;
  • lab-1m.ru – перевірка логіки і думок, магічний квадрат;
  • magic.8212.ru – віртуальна гра – магічний квадрат;

Додатково від Генон:

  • Vidpo.net – Що таке судоку і де знайти програми для створення і вирішення судоку.

Category: Дозвілля та розваги

Comments (Прокоментуй!)

There are no comments yet. Why not be the first to speak your mind.

Leave a Reply