Що таке число Пі?


Число Пі (грец. Π, перша буква грецького слова «периферія», букв. – «Окружність») – математична константа, рівна відношенню довжини кола до його діаметру. Першим ввів позначення відношення довжини кола до діаметру сучасним символом англійський математик У. Джонсон в 1706 р. Загальновживаним введене Джонсоном позначення стало після робіт Л. Ейлера, який скористався цим символом вперше в 1736 р.

Історія числа Пі

У глибоку давнину вважалося, що окружність рівно в 3 рази довше діаметра. Ці відомості містяться в клинописних табличках Стародавнього Межиріччя. Таке ж значення можна витягти з тексту Біблії: «І зробив він лите з міді море, – від краю його і до краю його десять ліктів, – зовсім кругле … і шнурок на тридцять ліктів оточив би його навколо» (3 Царств, гл. 7, ст . 6). Проте вже в 2 тисячолітті до н.е. математики Стародавнього Єгипту знаходили більш точне відношення. Важливим досягненням геометричній науки єгиптян було дуже хороше наближення числа Π, яке виходить з формули площі кола діаметра d:

S = (d-1/9d) 2 = (1-1/9) 2d2.

Цьому правилу з 50-ї задачі папірусу Райнда (приблизно 1650 р. до н.е.) відповідає значення Π = 4 (8/9) 2 = 3,1605. Проте яким чином єгиптяни одержали саму формулу, з контексту незрозуміло.

У Московському папірусі є ще одна цікава задача: обчислюється поверхню кошика «з отвором 4 ½». Дослідники тлумачать її по-різному, оскільки Π в тексті не зазначено, якої форми була кошик. Але всі сходяться на думці, що і тут для числа Π береться те ж саме наближене значення 4 (8/9) 2. Чудово, що на всьому Стародавньому Сході при обчисленнях використовувалося значення Π = 3. У цьому відношенні єгиптяни набагато випередили інші народи.

З VI століття до н.е. математична наука стрімко розвивалася в Стародавній Греції. Стародавні греки Евдокс Кнідський, Гіппократ та ін вимір окружності зводили до побудови відповідного відрізка, а вимір кола – до побудови рівновеликого квадрата.

Архімед в III столітті до н.е., займаючись обчисленнями довжини кола, встановив, що «периметр всякого кола дорівнює потроєному діаметру з надлишком, який менше сьомий частини діаметра, але більше десяти сімдесят першого». За точним розрахункам Архімеда відношення кола до діаметру укладено між числами 3 10/71 і 3 1/7, а це означає, що Π = 3,1419 … Інакше кажучи, Архімед вказав кордону числа:

3,1408 < ∏ < 3,1428.

Значення 3 1/7 до цих пір вважається цілком хорошим наближенням числа Π для прикладних задач. Більш точне наближення 17 березня / 120 (Π = 3,14166) знайшов знаменитий астроном, творець тригонометрії Клавдій Птолемей (II в.), Але воно не увійшло у вжиток.

У священній книзі джайнізму (однієї з найдавніших релігій Індії) є вказівка, з якого випливає, що число Пі приймали рівним дробу 3,162 … Це значення призводить індійський математик VII століття Брахмагупта.

Китайські вчені в III в. н.е. використовували для Π значення 3 7/50, яке гірше наближення Архімеда. В кінці 5 століття китайський математик Цзу Чунчжи отримав наближення 355/113 (Π = 3,1415927). Воно залишилося невідомо європейцям і було знову знайдено нідерландським математиком Адріаном Антоніс лише в 1585 р.

У першій половині XV ст. в обсерваторії Улугбека, біля Самарканда, астроном і математик ал-Каші обчислив Π з 16 десятковими знаками. Через півтора століття після ал-Каші в Європі Ф. Вієт знайшов число Π тільки з 9 правильними десятковими знаками, але при цьому він зробив відкриття, що дозволило обчислювати Π з якою завгодно точністю. На початку XVII в. голландський математик з Кельна Лудольф ван Цейла (1540-1610) – деякі історики називають його Л.ван Кейла – знайшов 32 знака. З тих пір (рік публікації – 1615) значення числа Π з 32 знаками отримало назву числа Лудольфа.

У 1766 р. німецький математик Йоганн Ламберт строго довів ірраціональність числа Π: число Пі не може бути представлено простими дробами, як би не були великі чисельник і знаменник. І, тим не менш, історія числа на цьому не закінчилася.

В кінці XIX в. професор Мюнхенського університету Карл Фердинанд Ліндеман знайшов суворе доказ того, що Π – число не тільки ірраціональне, але і трансцендентне, тобто не може бути коренем ніякого алгебраїчного рівняння. Його доказ поставило крапку в історії найдавнішої математичної задачі про квадратуру кола. У пам'ять про відкриття трансцендентності числа Π в залі перед математичної аудиторією Мюнхенського університету було встановлено бюст Ліндемана. На постаменті під його іменем зображено коло, пересічений квадратом рівної площі, усередині якого накреслена буква Π.

У сучасній математиці число Π – це не тільки відношення довжини кола до діаметру, воно входить у велике число різних формул, в тому числі і в формули неевклідової геометрії. Входить вона й у чудову формулу Л. Ейлера, яка встановлює зв'язок числа Пі числа тобто Ця та інші взаємозв'язки дозволили математикам ще глибше з'ясувати природу числа Π.

Див також:

  • Яке точне значення числа Пі? Яка історія уточнення знаків числа Пі?

Число Пі є ірраціональним і трансцендентним, і корінь з цього числа також є нескінченною неперіодичної десяткової дробом.

Квадратний корінь числа пі (з точністю до до 40 знаків):

1,7724538509055160272981674833411451827975

Квадратний корінь числа пі (з точністю до 1000 знаків):

1.
772453850905516027298167483341
145182797549456122387128213807
789852911284591032181374950656
738544665416226823624282570666
236152865724422602525093709602
787068462037698653105122849925
173028950826228932095379267962
800174639015351479720516700190
185234018585446974494912640313
921775525906216405419332500906
398407613733477475153433667989
789365851836408795451165161738
760059067393431791332809854846
248184902054654852195613251561
647467515042738761056107996127
107210060372044483672365296613
708094323498831668424213845709
609120420427785778068694766570
005218305685125413396636944654
181510716693883321942929357062
268865224420542149948049920756
486398874838505930640218214029
285811233064978945203621149078
962287389403245978198513134871
266512506293260044656382109675
026812496930595420461560761952
217391525070207792758099054332
900662223067614469661248188743
069978835205061464443854185307
973574257179185635959749959952
263849242203889103966406447293
972841345043002140564233433039
261756134176336320017037654163
476320669 … і далі до нескінченності.

Джерела інформації:

  • hizmat.org.ua – число Пі;
  • irc.lv – квадратний корінь числа Π з точністю до сорока знаків;
  • answers.yahoo.com – квадратний корінь числа Π з точністю до тисячі знаків (англ. яз.).

Див також на Генон:

  • Коли відзначають день числа Пі?
  • Як знайти площу круга?
  • Який кут має величину пі радіан?
  • Що таке арифметичний квадратний корінь?

Category: Наука та освіта

Comments (Прокоментуй!)

There are no comments yet. Why not be the first to speak your mind.

Leave a Reply