Переклад звичайних дробів на десяткові дроби: детально про те, як це зробити

perevod obyknovennyh drobej v desjatichnye drobi 1 Переклад звичайних дробів на десяткові дроби: детально про те, як це зробити

Зміст:

  1. Як виникли дроби
  2. Поява простих дробів
  3. Індійські цифри
  4. Позиційна система і десяткові дроби
  5. Двійкова система: математика знову без дробів
  6. Алгоритм перекладу звичайних дробів на десяткові
  7. Приклади перекладу

Як перевести дріб в десяткову? У наш час, коли обчислювальні засоби електроніки завжди під рукою, прості дроби багатьом здаються анахронізмом, а питання про їх переведення – недоречним. Проте, прості дроби вперто продовжують існувати. У відомому MS Office є спеціальні значки 3/4, 1/3 і т.п.

Але якщо всі знають, що 3/4 = 0,75, то запис 1/3 = 0,3333 … або 1/3 = 0, (3) може викликати здивування у людини, отвикшего вважати без калькулятора, навіть якщо він свого час успішно пройшов шкільний курс арифметики. То чи потрібно вміти переводити дробу один в одного? Щось там пам’ятається з п’ятого класу, це така нудьга … Не така вже і нудьга, між іншим, і може стати в нагоді. Для початку звернемося до історії.


Як виникли дроби

Вперше дробу з’явилися в Стародавньому Вавилоні десь за 2000 років до нової ери і були шестідесятірічних: їх знаменник дорівнював 60. Математикою у Вавилоні займалися жерці, вони ж в своїх заняттях зіткнулися з випадками, коли потрібно було знати співвідношення чисел, один на одного не діляться.

Жерці просто підібрали число, яке досить розвинена людина ще може утримати в думці, що має максимальну кількість простих дільників. Справді, 60 ділиться і на 2, і на 3, і на 5, і відповідно, на всі кратні їм числа без залишку. Знаменник 60 вавилонських дробів був свого роду еталоном для порівняння чисел.

Але для середніх умів – купців, ремісників, будівельників – підстава 60 було все ж занадто великим. І погано узгоджувалося з зручним для практики рахунком на пальцях рук, яких 10. Та й особливих значків для цифр тоді ще не було; всі дії записувалися словами. Уявляєте? Краще не треба.


Поява простих дробів

Наступний крок зробили стародавні греки, які звели математику до геометричних побудов. Це було, на ті часи, дуже наочно. Розвів ніжки циркуля, відклав відрізок п’ять разів. Потім його ж – сім разів. І відразу видно, який наскільки більше. Розташував відрізки паралельно на певній відстані, провів прямі через їх кінці – видно, який кут вийшов.

Сучасній людині, навіть фахівцеві, важко уявити собі таку математику, тому багато грандіозні споруди та чудові машини давнину приписуються сьогодні чи то інопланетянам, чи то атлантам, чи то ще комусь, окрім тих людей, які їх насправді зробили.

Геометризація математики дозволяла порівнювати без будь-якого виділеного еталона будь-які числа, діляться вони один на одного чи ні. Тому дробу стали простими: 3/11; 123/768 і т.п.

До пори, до часу, поки для практики не були потрібні дуже великі і дуже малі числа, прості дроби були поза конкуренцією.


Індійські цифри

Революцію в математиці справили не пізніше V в. н. е.. індійці, придумавши окремі значки для цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Вони йшли від того ж рахунку на пальцях, тому і значків придумали 10, а не 12 чи 60. Досить зручно – два простих дільника, 2 і 5 – і без праці може запам’ятати будь-який. 12 (дюжина) перед 10 не має переваги, тому що у нього теж два простих дільника: 2 і 3, а значків для запису потрібно на два більше.

Не пізніше VII ст. індійські цифри прийшли в Китай і до арабів, а від тих, у Х ст. – У Європу. Тому у нас індійські цифри називаються арабськими.


Позиційна система і десяткові дроби

Індійські цифри дозволяли записувати будь-яке, як завгодно велике число в т. зв. позиційній системі. Кожна цифра зліва від попередньої вважалася помноженої на 10. 458 = 4х10х10 + 5х10 + 8. 10 в такому випадку – основа системи числення. І воно ж самим природним чином ставало універсальним знаменником дробів, начебто вавілонського 60, але доступним звичайному розуму.

Поява позиційної системи багато в чому сприяло прогресу науки і техніки. Геометрія циркуля і лінійки тут видихалася – її точність була обмеженою. А математика ставала все більш витонченою і оперувала все більш абстрактними поняттями.

У 1617 р. англійський математик Непер запропонував цілу (підстава) і дробову (мантиссу) частину десяткового дробу розділяти комою, а знаменник 10 Не писати зовсім, раз він скрізь один і той же. Тепер десятковим дробом можна було записувати і як завгодно малі числа. А для неймовірно малих пізніше придумали експонентну форму запису. Скажімо, 7,37 Е-7 буде 0,; 737. Вона ж виявилася зручною для відображення на дисплеях електронних пристроїв.

Чи є у простих дробів майбутнє? Здавалося б, немає. Куди там, якщо навіть десяткові відступають під натиском відсотків. Але не так-то все просто.


Двійкова система: математика знову без дробів

Цифрові комп’ютери працюють в системі числення з основою 2 (двійковій). У ній всього дві цифри – 0 і 1; включено / вимкнено; вірно / невірно, а кожна «ліва» цифра вважається помноженої на 2 щодо «правою». Переклад двійкового коду в звичайні десяткові числа роблять спеціальні програми.

До речі, в двійковій системі дробів зовсім немає, тому що 1 на себе завжди ділиться з результатом теж 1.

Розвиток комп’ютерної техніки йде по шляху все більшої наочності результатів. Якщо в 50-х роках фахівець з ЕОМ зобов’язаний був уміти читати двійковий код на перфострічці так само, як звичайні цифри на папері, то тепер він же на цифрову роздруківку може і не глянути – на дисплеї ясно видно, в геометричних образах, як іде процес .

Залишається тільки дивуватися генію стародавніх греків, відразу поставили наочність в главу кута. Що б вони накоїли, будь у них комп’ютери?


Алгоритм перекладу звичайних дробів на десяткові

Переклад звичайних дробів на десяткові робиться послідовним розподілом чисельника на знаменник, потім залишку, помноженого на 10, знову на знаменник, наступного залишку, знову помноженого на 10, знову на знаменник, і так до тих пір, поки залишку не залишиться, або не виявиться період десяткового дробу, або не буде досягнута задана точність.

Числа, отримані до першого залишку, пишемо до коми; вони дадуть підставу десяткового дробу.

Числа, отримані від розподілу залишків, помножених на 10, пишемо після коми. Вони дадуть мантиссу.

Скажемо відразу: не всяку просту дріб можна перевести в десяткову точно. Якщо знаменник ділиться на 3, 7 або інше, не кратне 2 або 5, число, то вийде нескінченна періодична десяткова дріб. Період такого дробу прийнято брати в круглі дужки. Скажімо, 2/3 = 0, (6). Або округляти із заданою точністю, на зразок 0,6667. Період може виявитися дуже довгим, тоді зупиняються на наступному, після досягнення заданої точності, знакові. 2/3 з точністю в 1% буде 0,667.

Є числа, які неможливо виразити відношенням будь-яких цілих чисел. Математики називають їх ірраціональними. Це всім відоме ПІ – відношення довжини кола до її діаметра, основа натурального логарифма е та інші. Такі числа записуються нескінченної неперіодичної десятковим дробом. Зупиняються по досягненні потрібної точності + один наступний знак.


Приклади перекладу

Чисельник більше знаменника

Припустимо, є дріб 362/128.

  1. 362:128 = 2 + 106 в залишку (362 = 128х2 + 106 = 256 +106). Мантиса десяткового дробу буде дорівнювати 2, т.к. відразу ж вийшов залишок.
  2. 106х10 = 1060:128 = 1060 – (128х8 = 1024) = 8 + 36 у залишку. 8 – перша цифра після коми.
  3. 36х10 = 360:128 = 2 + 104 в залишку. 2 – друга цифра після коми.
  4. 1040:128 = 8 + 16 у залишку. 8 – третя цифра після коми.
  5. 160:128 = 1 + 32 в залишку. 1 – четверта цифра після коми.
  6. 320:128 = 2 + 64 в залишку. 2 – п’ята цифра після коми.
  7. 640:128 = 5 – шоста цифра після коми, залишку не залишилося, і ми маємо 362/128 = 2,828125.

Чисельник менше знаменника

Вважаємо чисельник першим залишком. Відразу множимо його на 10, і пишемо нуль з комою (0,). Якщо чисельник знову менше знаменника, вважаємо його друга залишком, множимо знову на 10 (всього 100), а після коми дописуємо ще нуль, і так далі, поки не отримаємо чисельник більше знаменника. Тоді ділимо, як у прикладі перший.

3/8 =?. 3х10 = 3; 0 30:8 = 3 + 6 в залишку; 6х10 = 6; 0 60:8 = 7 + 4 у залишку; 4х10 = 4; 0 40:8 = 5.

3/8 = 0,375.

Тоді 3/80 буде 0,0375; 3/800 = 0,00375 і т.д.

Нулі після коми до першого відмінною від нуля цифри – незначущі, а перша відмінна від нуля цифра після коми і наступні за нею називаються значущими. Якщо дописувати після останньої значущої цифри нулі, вони значущими не будуть.

Якщо виконати описану процедуру для дробу, припустимо, 9/14 (згадаймо, 14 ділиться на 7), то отримаємо 0,64285714285714285714 … Числа у мантиси … 285714 … будуть повторюватися до нескінченності; у нас вийшла нескінченна періодична десяткова дріб. Таку дріб для повної точності записують так: 0,64 (285714).

Ірраціональне число при перекладі звичайних дробів у десяткові вийти не може, тому що ірраціональні числа ставленням цілих чисел не виражаються. Якщо ми вважаємо і вважаємо, а періоду все не видно, значить, він занадто довгий і потрібно зупинитися на заданій точності.

Є правило: чим більше у знаменника простих дільників, тим довше виявиться період. А прості дільники – це подільники з простих чисел, які діляться тільки на самих себе і на 1. 1, 2, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 17, 23, 29 – це все прості числа. Математики досі не знають, звичайно Чи кількість простих чисел і за якими законами вони розподіляються в числовому ряду.

Чи не правда, хоч і важкувато, але зовсім не так вже і нудно?


Category: Освіта

Comments (Прокоментуй!)

There are no comments yet. Why not be the first to speak your mind.

Leave a Reply