Який сенс знака тотожно дорівнює?

Тотожність в математиці є окремим випадком загального філософського поняття тотожності.

Тотожним обораженіем називається функція, яка кожному значенню аргументу ставить у відповідність це ж саме значення (відображає на себе).

Тотожними виразами називають алгебраїчні вирази, які при будь-яких значеннях входять до них змінних набувають однакове значення. Наприклад, тотожні вирази x · x і x2, тому вони рівні між собою при будь-яких значеннях x. Відповідно, тотожністю називається рівність, вірне при всіх допустимих значеннях вхідних у нього змінних: x · x = x2.

Коли треба підкреслити тотожність виразів на відміну від їх рівності, використовується математичний знак «тотожно дорівнює»: ≡.

  • Запис f (x) = g (x) +1 може розглядатися як рівняння щодо x, яке треба вирішити, тобто визначити ті значення x, при яких дана запис перетворюється на справжнє рівність.
  • Запис f (x) ≡ g (x) +1 – це твердження, що функції f (x) і g (x) +1 збігаються при всіх значеннях x, тобто, фактично, це визначення функції f (x) через функцію g (x).

Тотожним перетворенням в алгебрі називається будь-яка заміна алгебраїчного виразу іншим тотожним виразом. Значення одержуваних при тотожних перетвореннях виразів співпадають при всіх значеннях вхідних у них змінних, однак алгебраїчна форма запису виразів може значно різнитися. Метою тотожних перетворень зазвичай є приведення виразу до такої форми, в якій спрощується рішення поставленої задачі.

Наприклад, якщо стоїть завдання довідатися, при яких значеннях x вираз x2 – 2x + 1 звертається в нуль, достатньо зауважити, що даний вираз тотожно (x – 1) 2. Відразу стає ясно, що відповідь буде x = 1, що було абсолютно неочевидно в початковому записі.

Важливо знати, що тотожне перетворення повинне зберігати не тільки значення виразу при будь-якому значенні змінних, але і його область визначення. Наприклад, часто вживана операція скорочення алгебраїчної дробу несе небезпеку зміни області визначення, якщо скорочується подвираженій при деяких значеннях змінних звертається в нуль. Наприклад:

(X2 + 2x + 1) / (x – 1) ≡ (x + 1) (x – 1) / (x – 1).

Здається, що тепер можна скоротити дріб на (x – 1):

(X + 1) (x – 1) / (x – 1) => (x + 1),

але таке перетворення не буде тотожним. Справа в тому, що подвираженій (x – 1) звертається в нуль при x = 1. При цьому еначеніі x вихідне вираз не має сенсу, тобто точка x = 1 не входить в область визначення вихідного виразу. Між тим, результуюче вираз (x + 1) такого обмеження не містить. І хоча при всіх інших значеннях x вихідне і результуюче вирази збігаються, вони не тотожні, оскільки розрізняються в одній точці: при x = 1 ісодное вираз не визначено, а результуюче дорівнює 2. Щоб останнє перетворення було тотожним, необхідно додати до результуючому висловом обмеження:

(X2 + 2x + 1) / (x – 1) ≡ (x + 1), x ≠ 1.

Джерела:

  • ru.wikipedia.org – Вікіпедія: тотожність (математика);
  • ru.wikipedia.org – Вікіпедія: тотожне відображення;
  • mmmf.msu.ru – брошура «Тотожні перетворення: Методична розробка для учнів 8 і 9 класів заочного відділення МММФ» під редакцією А.В. Дерев'янкіна. – М.: Изд-во центру прикладних досліджень при механіко-математичному факультеті МДУ, 2007. – 16 с.

Додатково на Генон:

  • Що таке тотожність?

Category: Наука та освіта

Comments (Прокоментуй!)

There are no comments yet. Why not be the first to speak your mind.

Leave a Reply