Яка область визначення степеневої функції?

Степеневою функцією називають функцію виду:

f (x) = k · xa,

де коефіцієнт k і показник a – речові (дійсні) постійні.

Степенева функція з цілим показником

Особливий інтерес представляють окремі випадки степеневої функції при цілих позитивних значеннях a. При парному позитивному показнику a ступенева функція визначена на всій дійсній осі і є парною (значення не змінюється при зміні знака аргументу). Вона строго убуває при x ≤ 0 і строго зростає при x ≥ 0.

Приклад: функція f (x) = x2, має графік у формі параболи.

При непарному позитивному показнику a ступенева функція визначена на всій дійсній осі і є непарною (змінює знак при зміні знаку аргументу x). Вона строго зростає на всій речовій осі.

Приклади: f (x) = kx – пряма пропорційність, f (x) = x3 – кубічна залежність, що має графік у формі кубічної параболи з точкою перегину при x = 0.

При цілих негативних значеннях показника a ступенева функція kxa = k / xa визначена на всій дійсній осі крім точки x = 0, де вона має непереборний розрив. Причому в разі парного показника a функція завжди позитивна і прагне до + ∞ при x – 0, а в разі, якщо значення показника a непарне, f (x) – ∞ при x прагне до нуля знизу (x – 0), і f (x) – + ∞ при x прагне до нуля зверху (x – +0).

Приклад: функція f (x) = x-1 = 1 / x, що має графік у формі гіперболи.

Степенева функція з раціональним показником

Степенева функція з показником, зворотним натуральному числу, еквівалентна взяттю кореня відповідної знаменника ступеня: kx1 / n = k · n √ х. Така функція визначена на всій дійсній осі для непарних n і тільки в неотрицательной області для парних n.

Приклад: функція f (x) = x1 / 2 = √ х.

При раціональних значеннях показника a, тобто представимо у вигляді нескоротного дробу a = m / n, де m – ціле число, а n – натуральне, статечна функція обчислюється послідовним лікуванням кореня ступеня n і зведенням результату в ступінь m: kxm / n = kxm · 1 / n = k · (x1 / n) m = k · (n √ х) m. В області x<0 такая степненная функция с рациональным определена только при нечетных значениях знаменателя n.

Приклад: функція f (x) = x1, 5 = x3 / 2 = (√ х) 3.

Степенева функція з речовим показником

Це створює досить цікаву ситуацію, при якій як завгодно мале зміна показника може міняти область визначення функції. І в той же час для будь-якого значення m / n з парних n, при котрому ступенева функція не визначена в області x<0, можно подобрать сколь угодно близкую функцию с нечетным знаменателем в показателе степени. Построив последовательность рациональных чисел с нечетными знаменателями, сходящуюся в пределе к m/n с четным n, можно восполнить значения степенной функции kxm/n в том числе на для отрицательных значений x. Аналогично можно определить значение степенной функции для любого вещественнгого числа, в том числе иррационального, то есть непредставимого в виде дроби m/n. Данный прием называется аналитическим продолжением степенной функции с рациональным показателем на множество вещественных чисел. Областью определения такой аналитически продолженной степенной функции при любом положительном показателе a является вся вещественная ось (-∞; +∞), а при любом отрицательном вся ось кроме точки (-∞; 0) U (0; +∞).

Щоб не стикатися з цими труднощами для практичних потреб зазвичай обмежуються розглядом степеневої функції на невід'ємне частини речовій осі: [0; + ∞).

Посилання на джерела основної і додаткової інформації:

  • pm298.ru – Прикладна математика. Довідник математичних формул;
  • mathematics.ru – Елементарні функції та їх графіки. Степенева функція;
  • ru.wikipedia.org – Вікіпедія: Степенева функція;
  • ru.wikipedia.org – Вікіпедія: Аналітичне продовження.

Див також на Генон:

  • Що таке натуральне число?

Category: Наука та освіта

Comments (Прокоментуй!)

There are no comments yet. Why not be the first to speak your mind.

Leave a Reply