Як знайти сторони прямокутного трикутника по катету і гострому куту?

Периметр трикутника – це сума довжин усіх його сторін. Якщо все довжини всіх сторін прямокутного трикутника відомі, то його периметр P обчислюється за формулою:

P = a + b + с.

Таким чином, задача знаходження периметра зводиться визначенням довжини усіх сторін трикутника. Це завдання вирішується по-різному, в залежності від того, які параметри прямокутного трикутника відомі.

По двох сторонах

Якщо відомі дві з трьох строн прямокутного трикутника, то третю сторону можна обчислити за допомогою теореми Піфагора. Якщо відомі довжини катетів (сторін, прилеглі до прямого кута), то довжина третьої сторони (гіпотенузи) обчислюється за формулою:

c = √ (a2 + b2),

де a і b – катети, а c – гіпотенуза. Якщо ж відома довжина гіпотенузи і одного з катетів, то другий катет можна знайти за формулою:

a = √ (c2 – b2).

Тепер периметр P прямокутного трикутника обчислюється за формулами:

P = a + b + √ (a2 + b2) = √ (c2 – b2) + b + с.

По гіпотенузі і куту

Якщо відома гіпотенуза c і один з гострих кутів α, обчислити два катета можна за формулами:

a = з sin α,

b = с cos α.

Підставивши ці вирази у формулу для периметра, отримуємо:

P = a + b + с = с sin α + з cos α + з = з (sin α + cos α + 1).

За катету і протилежного кутку

Якщо задано катет a і противолежащий йому гострий кут α, то спочатку треба обчислити інший катет b і гіпотенузу з за формулами:

b = a / tg α,

c = a / sin α.

Потім перімер P обчислюється за формулою:

P = a + b + с = a + a / tg α + a / sin α = a (1 + 1/tg α + 1/sin α).

За катету і прилеглій кутку

Якщо відомий катет a і прилегла до нього гострий кут β, то треба врахувати, що в прямогульном трикутнику сума гострих кутів становить 90 °:

α + β = 90 ° => α = 90 ° – β,

і скористатися тригонометричними формулами приведення

sin α = sin (90 ° – β) = cos β,

tg α = tg (90 ° – β) = ctg β = 1/tg β.

Підставивши ці вирази в попередню формулу для периметра, отримуємо:

P = a (1 + 1/сtg β + 1/cos β) = a (1 + tg β + 1/cos β).

Додатково в базі даних Генона:

  • Що таке периметр і напівпериметр?
  • Що таке теорема Піфагора?
  • Що таке катет? Що таке гіпотенуза? Як пов'язані довжини катетів і гіпотенузи?
  • Як обчислити площу прямокутного трикутника?

Category: Наука та освіта

Comments (Прокоментуй!)

There are no comments yet. Why not be the first to speak your mind.

Leave a Reply