Як знайти площу правильного п'ятикутника?

Правильний п'ятикутник або пентагон (англ. regular pentagon) – Це п'ятикутник, всі сторони і всі кути якого рівні між собою.

Формули для правильного п'ятикутника:

  • Величина α внутрішніх кутів правильного п'ятикутника (n = 5) складає:
    α = (n – 2) / n · 180 ° = (3/5) · 180 ° = 108 °.
  • Площа правильного п'ятикутника із стороною a розраховується за формулою:
    S = (5/4) a2 ctg (π / 5) = (1/4) √ 5 √ (5 + 2 √ 5) a2 ≈ 1,720 a2.
  • Площа правильного п'ятикутника, вписаного в коло радіуса R розраховується за формулою:
    S = (5/2) R2 sin (2π / 5) = (5 √ 2/8) √ (5 + √ 5) R2 ≈ 2,378 R2.
  • Площа правильного п'ятикутника, описаного навколо кола радіуса r розраховується за формулою:
    S = 5 r2 tg (π / 5) = 5 √ (5 – 2 √ 5) r2 ≈ 3,633 r2.
  • Висота правильного п'ятикутника із стороною a становить:
    h = (1/2) a tg 72 ° = (1/2) √ (5 + 2 √ 5) a2 = 1,539 a.
  • Відношення діагоналі d правильного п'ятикутника до його сторони a дорівнює золотому перерізу:
    d / a = (1 + √ 5) / 2 ≈ 1,618.
  • Радіус r окружності, вписаної в правильний п'ятикутник зі стороною a становить:
    r = (1/10) √ 5 √ (5 + 2 √ 5) a ≈ 0,688 a.
  • Радіус R кола, описаного навколо правильного п'ятикутника із стороною a становить:
    R = (1/10) √ 10 √ (5 + √ 5) a ≈ 0,851 a.
  • Радіус R кола, описаного навколо правильного п'ятикутника, можна знайти по радіусу r вписаного в нього кола за формулою:
  • R = (√ 5 – 1) r ≈ 1,236 r.

Факти про правильне п'ятикутнику:

  • Правильний п'ятикутник може бути побудований за допомогою циркуля і лінійки, або вписуванням його в задану окружність, або побудовою на основі заданої сторони. Вперше це побудова описав Евклід у своїх «Початках» близько 300 року до н.е.
  • Всі діагоналі правильного п'ятикутника рівні між собою. Разом вони утворюють п'ятикутну зірку, названу також пентаграмою. Відношення довжини діагоналі до довжини сторони правильного п'ятикутника дорівнює золотому перерізу.
  • Правильними п'ятикутниками не можна замостити площину без проміжків і накладень. Це найменший за кількістю сторін правильного багатокутника, який володіє такою властивістю.
  • Додекаедр – єдиний правильний багатогранник, грані якого являють собою правильні п'ятикутник. Правильний п'ятикутник – найбільший по числу сторін правильного багатокутника, з яких можна зібрати правильний багатогранник.
  • У природі не існує кристалів з гранями у формі правильного п'ятикутника. Однак, при формуванні водяного льоду на рівній поверхні міді при температурах 100-140 K на поверхні спочатку виникають ланцюжки молекул шириною близько 1 нм пентагональними структури.
  • Правильний п'ятикутник можна отримати, зав'язавши вузлом смужку паперу, а потім сплющена вузол.
  • Пентагоном називають міністерство оборони США, оскільки воно розміщується в будинку, що має в плані форму правильного п'ятикутника (пентагона).

Джерела:

  • ru.wikipedia.org – Вікіпедія: Правильний п'ятикутник
  • wolframalpha.com – Wolfram | Alpha: regular pentagon (англ. яз.)

Додатково на Генон:

  • Який величини кути у правильного трикутника?
  • Що таке пентаграма?
  • Скільки діагоналей у п'ятикутника?
  • Хто такий Евклід?
  • Чому біля будівлі Пентагону п'ять кутів?

Category: Наука та освіта

Comments (Прокоментуй!)

There are no comments yet. Why not be the first to speak your mind.

Leave a Reply