Як вирішити пропорцію?

Визначення пропорції

Нехай дані чотири відмінних від нуля числа a, b, c і d таких, що a: b = c: d. Тоді рівність a: b = c: d називається пропорцією. Тобто пропорція (лат. proportio – співмірність, вирівняність частин) – рівність двох відносин. Числа a і d називаються крайніми членами пропорції, а числа b і c – середніми членами.

Пишуть, a: b = с: d або читають: «а так відноситься до b, як з відноситься до d»

З властивостей звичайних дробів випливає, що справедливі наступні твердження:

  • Пропорцію a: b = c: d можна записати у вигляді a / b = c / d.
  • Крайні члени пропорції можна поміняти місцями: якщо a / b = c / d, то d / b = c / a.
  • Середні члени пропорції можна поміняти місцями: якщо a / b = c / d, то a / c = b / d.
  • Твір крайніх членів пропорції дорівнює добутку її середніх членів: якщо a / b = c / d, то ad = bc (основна властивість пропорції). Наприклад: якщо 20:5 = 16:4, то 20 • 4 = 5 • 16, тобто 80 = 80.

Основні властивості пропорцій

  • Звернення пропорції. Якщо a: b = c: d, то b: a = d: c
  • Перемножування членів пропорції хрест-навхрест. Якщо a: b = c: d, то ad = bc.
  • Перестановка середніх і крайніх членів. Якщо a: b = c: d, то
    • a: c = b: d (перестановка середніх членів пропорції),
    • d: b = c: a (перестановка крайніх членів пропорції).
  • Збільшення і зменшення пропорції. Якщо a: b = c: d, то
    • (A + b): b = (c + d): d (збільшення пропорції),
    • (A – b): b = (c – d): d (зменшення пропорції).
  • Складання пропорції складанням і відніманням. Якщо a: b = c: d, то
    • (A + с): (b + d) = a: b = c: d (складання пропорції складанням),
    • (A – c): (b – d) = a: b = c: d (складання пропорції відніманням).

Як з даної пропорції скласти три вірні пропорції

  • Треба поміняти місцями: 1) крайні 2) середні 3) одночасно крайні і середні члени пропорції. Наприклад, з вірною пропорції 20/5 = 16/4 вийде 3 нові вірні пропорції: 1) 4/5 = 16/20; 2) 20/16 = 5/4; 3) 4/16 = 5/20

Як знайти невідомий крайній член пропорції

  • Треба твір середніх поділити на відомий крайній член пропорції, наприклад: якщо: х: 5 = 16:4, то х = (5 · 16): 4, якщо 20:5 = 16: х, то х = (16 · 5) : 20
  • Або ще приклад: Необхідно знайти невідомий Крайник член AC пропорції:
    • AC: 8 = √ 2: 2
    • Рішення: AC = 8 · √ 2/2

Як знайти невідомий середній член пропорції

  • Треба твір крайніх поділити на відомий середній член пропорції. Наприклад, якщо 20: х = 16:4, то х = (20 · 4): 16; якщо 20:5 = х: 4, то х = (4 · 20): 5

Пропорційними називаються дві взаємно залежні величини, якщо відношення їх значень залишається незмінним. Значення двох різних величин можуть взаємно залежати один від одного. Так, площа квадрата залежить від довжини його сторони, і назад, довжина сторони квадрата залежить від його площі.

  • Приклад: Маса гасу пропорційна його об'єму: 2 л гасу важать 1,6 кг, 5 л важать 4 кг, 7 л важать 5,6 кг. Відношення маси до об'єму завжди буде одно щільності:
    • 1,6 / 2 = 0,8;
    • 4/5 = 0,8;
    • 5,6 / 7 = 0,8 і т. д.

Незмінне відношення пропорційних величин називається коефіцієнтом пропорційності.

Коефіцієнт пропорційності показує, скільки одиниць однієї величини припадає на одиницю іншої.

Яка залежність називається прямою пропорційною

  • Прямий пропорційна залежність – така залежність, коли зі збільшенням (або зі зменшенням) однієї величини у кілька разів другий збільшують (або зменшується) у стільки ж разів. Наприклад, при постійній ціні вартість покупки прямо пропорційна кількості товару: якщо ціна 1 кг цукру дорівнює 20 р., То треба платити за 2 кг – 40 р., За 3 кг – 60 р., І т.д.

Яка залежність називається зворотної пропорційної

  • Зворотного пропорційна залежність – така залежність, коли зі збільшенням (або зі зменшенням) однієї величини у кілька саме другий зменшується (або збільшується) у стільки ж разів. Наприклад, на наявні 80 р можна купити 4 кг цукру по 20 р. або 2 кг по 40 р., тобто якщо ціну збільшили в 2 рази, то товару купили в 2 рази менше на ті ж 80 р.

Джерела та додаткова інформація:

  • Відносини між числами
  • Математика (дитячий форум)
  • Пропорція (математика) – Вікіпедія
  • Пропорційність – Вікіпедія
  • Пропорції
  • Як знайти пропорцію
  • Як знайти невідомий член пропорції

Category: Наука та освіта

Comments (Прокоментуй!)

There are no comments yet. Why not be the first to speak your mind.

Leave a Reply