Як оцінити значення десяткового логарифма числа без калькулятора?

Десятковий логарифм позитивного числа – це ступінь, у которою потрібно звести число 10, щоб отримати вихідне число:

y = lg x = log10x => x = 10y.

1. У першому наближенні логарифм числа дорівнює його порядком, тобто, ступеню десятки в науковій (експоненційної) запису числа. Будь-яке позитивне число x можна представити у формі x = m · 10n, де m – мантиса, дійсне число в діапазоні 1 ≤ m < 10, а целое число n называют порядком.

Наприклад, в числі Авогадро NA = 6,02 · 1023 мантиса – 6,02, а порядок – 23. Тому в першому наближенні логарифм числа Авогадро дорівнює 23.

Цей спосіб заснований на двох фактах:

  • логарифм добутку дорівнює сумі логарифмів: log a · b = log a + log b;
  • логарифм числа від 1 до 10 не перевершує 1.

У застосуванні до наукової запису числа отримуємо:

lg x = lg (m · 10n) = lg m + lg (10n) = p + n ≈ n, оскільки 0 ≤ p < 1.

Нехтуючи логарифмом мантиси, числом від 0 до 1, ми помилимося у визначенні десяткового логарифма не більше, ніж на 1, причому завжди в меншу сторону.

2. Підвищити точність можна, врахувавши, що lg 3 ≈ 0,5. Так що якщо мантиса, якою ми знехтували в попередньому прикладі, більше 3, то треба додати одиницю до наближеної оцінки логарифма. Таким чином, більш точна оцінка логарифма числа Авогадро: lg NA ≈ n +1 = 24.

3. Ще точніше можна визначити логарифм, якщо пам'ятати нескладну таблицю "круглих" логарифмів цілих чисел і застосовувати її для оцінки логарифма мантиси:

  • lg 1 = 0
  • lg 2 ≈ 0,3
  • lg 3 ≈ lg (√ 10) = 0,5

  • lg 4 ≈ 0,6
  • lg 5 ≈ 0,7

  • lg 8 ≈ 0,9

Причому у всіх випадках, кормі третій похибка не перевищує піввідсотка. Звідси видно, що логарифм мантиси числа Авогадро трохи менше, ніж 0,8, а значить, логарифм NA можна оцінити як 23,8. Для порівняння точне значення: lg NA = 23,778.

Додатково від Генона:

  • Що таке десятковий логарифм?

Category: Наука та освіта

Comments (Прокоментуй!)

There are no comments yet. Why not be the first to speak your mind.

Leave a Reply