Як довести теорему Піфагора?


Теорема Піфагора – одна із засадничих теорем евклідової геометрії, що встановлює співвідношення між сторонами прямокутного трикутника. Вважається, що доведена грецьким математиком Піфагором, на честь якого і названа.

Формулювання теореми: У всякому прямокутному трикутнику площа квадрата, побудованого на гіпотенузі дорівнює сумі площ квадратів, побудованих на катетах.

Позначивши довжину гіпотенузи трикутника через c, а довжини катетів через a і b, отримуємо наступне рівність:

a2 + b2 = c2

Таким чином, теорема Піфагора встановлює співвідношення, що дозволяє визначити сторону прямокутного трикутника за двома іншими.

Також вірно зворотне твердження (зване зворотного теоремою Піфагора):
Для всякої трійки позитивних чисел a, b і c, такий що a2 + b2 = c2, існує прямокутний трикутник з катетами a і b і гіпотенузою c.

Відеоурок з доказом теореми Піфагора.


Доказ

Відомо більше ста доказів теореми Піфагора. Нижче наведено доказ засноване на теоремі існування площі фігури:

1. Розташуємо чотири рівних прямокутних трикутника так, як показано на цьому малюнку.
2. Чотирикутник зі сторонами c є квадратом, так як сума двох гострих кутів дорівнює 90 °, а розгорнутий кут – 180 °.
3. Площа всієї фігури рівна, з одного боку, площі квадрата зі стороною (a + b), а з іншого боку сумі площ чотирьох прямокутних трикутників і внутрішнього квадрата.

(A + b) 2 = 4 · (ab / 2) + c2 (з урахуванням формули для площі прямокутного трикутника)
a2 + 2ab + b2 = 2ab + c2
c2 = a2 + b2

Що і потрібно було довести.

Узагальнення

Для довільних трикутників вірна теорема косинусів, яка є обощения теореми Піфагора:

a2 = b2 + c2 – 2 bc cos α,

де α – кут між сторонами b і c.

У прямокутній (декартовій) системі координат на площині теорема Піфагора дозволяє обчислити квадрат відстані R між двома точками a і b з відомими координатами (x1, y1) і (x2, y2):

R2 = (x2 – x1) 2 + (y2 – y1) 2.

Ця формула допускає узагальнення на тривимірний простір:

R2 = (x2 – x1) 2 + (y2 – y1) 2 + (z2 – z1) 2,

а також на n-мірний простір:

R2 = Σi = 1, …, n (ai – bi) 2,

в якому точки a і b мають відповідно координати (a1, …, an) і (b1, …, bn).

Джерело: Вікіпедія

Посилання:

  • Сайт, присвячений теоремі Піфагора
  • Деякі докази теореми Піфагора

Додатково від Генона:

  • Яка біографія Піфагора?
  • Як знайти площу прямокутного трикутника?
  • Як знайти площу довільного трикутника?
  • Як довести теорему косинусів?

Category: Наука та освіта

Comments (Прокоментуй!)

There are no comments yet. Why not be the first to speak your mind.

Leave a Reply