Де знайти розгортки правильних багатогранників?


Визначення: Правильними називають опуклі багатогранники, всі грані яких являють собою однакові правильні багатокутники, і в кожній вершині сходиться однакове кількість граней. Такі багатогранники називають також Платоновим тілами.

Інша еквівалентне визначення: багатогранник називається правильним, якщо всі його грані – рівні між собою правильні багатокутники, з кожної його вершини виходить однакове число ребер і все двогранні кути рівні. (У порівнянні з першим визначенням тут замість опуклості вимагається рівність усіх двогранні кутів.)

Існує рівно п'ять правильних багатогранників:

  • Тетраедр (правильна піраміда) – складається з 4 рівносторонніх трикутників.
  • Октаедр – складається з 8 рівносторонніх трикутників, сходяться по 4 в кожній вершині.
  • Гексаедр (куб) – складається з 6 квадратів.
  • Додекаедр – складається з 12 правильних п'ятикутників.
  • Ікосаедр – складається з 20 рівносторонніх трикутників, сходяться по 5 в кожній вершині.

Інших правильних багатогранників не існує. Це легко зрозуміти, якщо врахувати, що в кожній вершині правильного багатогранника повинно сходитися не менше трьох граней і при цьому сума їх плоских кутів повинна бути менше 360 °. У правильних трикутників кути становлять 60 °. Це означає, що в вершинах правильних багатогранників може сходитися 3, 4 або 5 таких граней, що відповідає тетраедр, откаедру і ікосаедра. Квадратів (кут 90 °) і п'ятикутників (кут 108 °) в одній вершині може сходитися тільки по три, що відповідає гексаедр і додекаедр. Однакові правильні багатокутники з великим числом кутів не можуть утворювати тригранні кути, оскільки сума кутів трьох граней виходить більше або рівною 360 °.

Інші докази цього факту:

  • П'ять піфагорових тел / / Глава з книги Карла Сагана «Космос», СПб., Амфора, 2005.
  • College.ru.

У всіх випадках доводиться лише те, що правильних багатогранників може бути не більше п'яти. З цих доказів ще не випливає, що хоч один такий багатогранник існує. Те, що всі п'ять дійсно можна побудувати – чудовий факт, що перевіряється відповідними геометричними побудовами. На цьому факті зазвичай не акцентують увагу, так як правильні багатогранники були відомі з глибокої давнини, і ніхто не сумнівався в їхньому існуванні.

Джерела:

  • Клюєва Т.І., Зімін Р.Н., Моделі многогранників. Посібник для учнів. – Наводяться зображення та розгортки правильних багатогранників.
  • Правильний багатогранник / / Вікіпедія
  • Правильні багатогранники / / College.ru
  • Правильні багатогранники – Наводяться формули для площ і обсягів правильних багатогранників.

Додатково в базі даних Генона:

  • Про тетраедра

Category: Наука та освіта

Comments (Прокоментуй!)

There are no comments yet. Why not be the first to speak your mind.

Leave a Reply