Чому дорівнює сума кутів п'ятикутника?

У евклідової геометрії сума кутів плоского n-кутника дорівнює 180 ° (n-2). Зокрема:

  • сума кутів трикутника – 180 °;
  • сума кутів чотирикутника – 360 °;
  • сума кутів п'ятикутника – 540 °;
  • сума кутів шестикутника – 720 °;
  • сума кутів семикутника – 900 °;
  • сума кутів восьмикутника – 1080 °.

Доказ даної теореми для випадку опуклого n-кутника

У разі n = 3 ми маємо справу з трикутником. Сума кутів трикутника завжди дорівнює 180 °. У разі n> 3 потрібно провести з будь-якої вершини багатокутника діагоналі до все несуміжні вершини. Таких діагоналей буде n-3, і вони розіб'ю багатокутник на n-2 прилеглих один до одного трикутників. Сума кутів багатокутника співпадає з сумою кутів усіх цих трикутників. Сума кутів в кожному трикутнику дорівнює 180 °, а число цих трикутників є n-2. Отже, сума кутів n-кутника дорівнює 180 ° (n-2). Теорема доведена.

Для неопуклого n-кутника сума кутів також дорівнює 180 ° (n-2). Доказ аналогічно, але використовує на додаток лему про те, що будь багатокутник може бути розрізаний діагоналями на трикутники.

Джерела:

  • ru.wikipedia.org – Вікіпедія: Теорема про суму кутів багатокутника (з доказом)
  • ru.wikipedia.org – Вікіпедія: Теорема про суму кутів трикутника (з доказом)
  • profmeter.com.ua – Теорема про суму кутів опуклого многокутника

Додатково на Генон:

  • Чому дорівнює сума кутів трикутника?

Category: Наука та освіта

Comments (Прокоментуй!)

There are no comments yet. Why not be the first to speak your mind.

Leave a Reply